Aprende todo sobre la Función de la Probabilidad

La función de la probabilidad es sencillamente la posibilidad de que algo suceda. Cuando no estamos seguros del resultado de un evento, podemos conversar sobre las probabilidades de ciertos resultados, qué tan posibles son. El análisis de los eventos manejados por la probabilidad se llama estadística. Si deseas conocer más acerca de este interesante tema, continua leyendo este articulo…

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Función de la Probabilidad

La probabilidad, es una rama de las matemáticas relacionada con el análisis de fenómenos aleatorios. El resultado de un evento aleatorio no se puede establecer antes de que ocurra, pero puede ser uno de diferentes resultados posibles. El resultado real se considera establecido por azar. Matemáticamente se puede definir la función de probabilidad como aquella función (P) que asigna a cada valor de una variable aleatoria (llamada xi) y la probabilidad de que ocurra (llamada pi), por ende:

P(xi) = pi

Donde se cumple que:

0 ≤ pi ≤ 1, es decir, la probabilidad de un acontecimiento está comprendido entre cero (imposible) y 1 (seguro)

p1 + p2 + ··· + pn = 1, es decir, la suma de las probabilidades de todos los procesos es igual a 1

La palabra probabilidad posee varios significados en la conversación ordinaria dos de estos son especialmente importantes para el desarrollo y las aplicaciones de la teoría matemática de la probabilidad. Una es la interpretación de probabilidades como frecuencias relativas, para las cuales los juegos simples que incluyen monedas, cartas, dados y ruedas de ruleta suministran ejemplos. (Ver también: Origen de la Filosofía)

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La característica específica de los juegos de azar es que el efecto de un ensayo determinado no se puede pronosticar con certeza, aunque los resultados compuestos de un gran número de ensayos muestran cierta precisión. Por ejemplo, la afirmación de que la probabilidad de “caras” al lanzar una moneda es igual a la mitad, de acuerdo con la definición de frecuencia relativa, involucra que en un gran número de lanzamientos la frecuencia relativa con la que se producen las “caras” será aproximadamente de una.

La mitad, aunque no posee ninguna implicación, con respecto al resultado de cualquier lanzamiento dado. Hay muchos ejemplos similares que implican grupos de personas, moléculas de un gas, genes, entre otros. Las declaraciones actuariales sobre la esperanza de vida de las personas de cierta edad relatan la experiencia colectiva de un gran número de personas, pero no procurar decir qué sucederá con una persona en específico.

De manera equivalente, las predicciones sobre la posibilidad de que suceda una enfermedad genética en un hijo de padres con una composición genética conocida son declaraciones sobre las frecuencias relativas de ocurrencia en un gran número de casos, pero no son predicciones sobre un individuo concreto.

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Aplicación

Como las aplicaciones involucran irremediablemente facilitar supuestos que se centran en algunas características de un problema a expensas de otros, es ventajoso iniciar pensando en cosas simples o simples experimentos, como lanzar una moneda o un dado rodante, y luego ver cómo estas investigaciones supuestamente frívolas se relacionan con preguntas científicas significativas. En la conversación ordinaria, la palabra probabilidad se emplea no solo a fenómenos variables, sino además a proposiciones de veracidad incierta.

La verdad de cualquier propuesta sobre el resultado de un experimento es aleatoria antes de que se realice el experimento. Muchas otras proposiciones aleatorias no pueden definirse en términos de experimentos repetibles. Un individuo puede estar inseguro acerca de la verdad de una teoría científica, una doctrina religiosa, o inclusive acerca de la ocurrencia de un evento histórico específico cuando se trata de testimonios de testigos oculares inoportunos o en conflicto.

El uso de la probabilidad como medida de incertidumbre aumenta su dominio de aplicación a fenómenos que no cumplen con el requisito de repetitividad. La desventaja es que la probabilidad como medida de indecisión es subjetiva y varía de una persona a otra.

Se supone que un individuo, cuando se afronta a la necesidad de tomar una decisión que puede poseer diferentes consecuencias dependiendo de las circunstancias sobre las cuales tiene un conocimiento incompleto, puede expresar sus particularidades e incertidumbres personales de una forma consistente con ciertos axiomas del comportamiento racional. Un estímulo significativo para el pensamiento moderno sobre la probabilidad subjetiva ha sido complicado de comprender.

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Entonces se puede concluir que el individuo tiene una función de utilidad, que le mide el valor de cada curso de acción cuando cada una de las posibilidades aleatorias es la verdadera, y una distribución de probabilidad subjetiva, que expresa cuantitativamente sus creencias sobre las situaciones dudosas. La decisión óptima del individuo es la que maximiza su ganancia esperada con respecto a su posibilidad subjetiva.

El concepto de probabilidad se remonta al menos a Daniel Bernoulli, y fue desarrollado en el siglo XX por John von Neumann y Oskar Morgenstern, Frank P. Ramsey, y Leonard J. Savage, entre otros. Ramsey y Savage recalcaron la importancia de la probabilidad subjetiva como un ingrediente relacionado de la toma de decisiones frente a la incertidumbre. Bruno de Finetti desarrolló un enfoque alternativo a la probabilidad sin el uso de la teoría de la utilidad.

Probabilidad y matemáticas

La teoría matemática de la probabilidad es la misma independientemente de la interpretación que se forme del concepto, aunque la importancia atribuida a los diversos resultados puede depender mucho de la interpretación. En específico, en la teoría y las aplicaciones de la probabilidad subjetiva, el teorema de Bayes juega un papel significativo. La distribución de probabilidad como concepto puede suceder de dos formas, dependiendo de las características de su observación.

Puede ser una función de densidad de probabilidad, en el caso de una variable aleatoria duradera que modela la observación o, si solo son posibles valores discretos de la variable aleatoria, con la ayuda de la llamada función de masa de probabilidad. Para densidad de probabilidad necesita evaluar una integral para conseguir su información. La función de masa de probabilidad puede entregar la información como una suma ponderada. En ambos casos, el área bajo las “curvas” tiene que ser la unidad. En esta última, esto se logra modelando los picos con la función delta.

El ingrediente esencial de la teoría de la probabilidad es un experimento que puede repetirse, al menos hipotéticamente, en condiciones básicamente idénticas y que puede llevar a resultados diferentes en diferentes ensayos. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se designa como “espacio de muestra”. El experimento de lanzar una moneda una vez resulta en un espacio de muestra con dos resultados posibles, “caras” y “sellos”.

Lanzar dos los dados tienen un espacio muestral con 36 resultados potenciales, cada uno de los cuales puede identificarse con un par ordenado (llamados “i” y “j”), donde i y j toman uno de los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 y denotan las caras mostrando en los dados individuales. Un “evento” es un subconjunto bien concreto del espacio muestral. Por ejemplo, en el evento la suma de las caras que se muestran en los dos dados es igual a seis, que consiste en los cinco resultados (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) y (5, 1).

Un tercer ejemplo es dibujar n bolas de una urna que contiene bolas de varios colores. Por ejemplo, los individuos de una población que asisten a un candidato en particular en una elección pueden identificarse con bolas de un color en específico, los que favorecen a un candidato diferente pueden identificarse con un color diferente, y así repetidamente.

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La teoría de la probabilidad facilita la base para aprender sobre los contenidos del arca a partir de la muestra de bolas extraídas de ella; una aplicación es instruirse sobre las preferencias electorales de una población sobre la base de una muestra extraída de esa población. Otra aplicación de los modelos de arcas simples es utilizar ensayos clínicos planteados para determinar si un nuevo procedimiento para una enfermedad, un nuevo medicamento o un nuevo procedimiento quirúrgico es mejor que un procedimiento estándar.

En el caso simple en el que el tratamiento puede considerarse éxito o fracaso, el objetivo del ensayo clínico es revelar si el nuevo tratamiento conlleva con más frecuencia al éxito que el tratamiento estándar. Los pacientes con la enfermedad pueden identificarse con bolas en un arca. Las bolas rojas son aquellos pacientes que se alivian con el nuevo tratamiento, y las bolas negras son aquellas que no están curadas. Por lo general hay un grupo de control, quienes toman el tratamiento estándar.

Están representados por una segunda arca con una fracción probablemente diferente de bolas rojas. El objetivo del experimento de dibujar un número de bolas de cada arca, es revelar basándose en la muestra, qué arca tiene la mayor fracción de bolas rojas. Se puede emplear una variación de esta idea para probar la eficacia de una nueva vacuna. Quizás el ejemplo más grande y famoso fue la prueba de la vacuna “Salk parapoliomielitis” efectuada en 1954.

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Fue introducida por el Servicio de Salud Pública de los EE. UU. E implicó a casi dos millones de niños. Su éxito ha llevado a la eliminación casi completa de la poliomielitis como un problema de salud en las partes industrializadas del mundo. Rigurosamente hablando, estas aplicaciones son problemas de estadística, para los cuales los fundamentos son suministrados por la teoría de la probabilidad.

En oposición con los experimentos descritos anteriormente, varios experimentos tienen infinitos resultados posibles. Por ejemplo, uno puede lanzar una moneda hasta que aparezca “cara” por primera vez. El número de lanzamientos probables es n = 1, 2.. Otro ejemplo es hacer girar un hilandero. Para un spinner idealizado hecho de una línea recta, si el segmento no tiene ancho y está pivotado en su centro, el conjunto de resultados probables es el conjunto de todos los ángulos que la posición final del spinner hace con una dirección fija, de forma equivalente a todos los números reales en 0 y 2π.

Varias mediciones en las ciencias naturales y sociales, como el volumen, el voltaje, la temperatura, el tiempo de reacción, el ingreso marginal, entre otras, se realizan en escalas continuas y, al menos en teoría, involucran infinitos valores posibles. Si las mediciones repetidas en diferentes sujetos o en diferentes instantes en el mismo sujeto pueden llevar a disparejos resultados, la teoría de la probabilidad es una herramienta potencial para estudiar esta variabilidad.

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Debido a su simplicidad comparativa, los experimentos con espacios muestrales finitos se discuten primero. En el desarrollo inicial de la teoría de la probabilidad, los matemáticos supusieron solo aquellos experimentos para los que parecía razonable, basándose en consideraciones de simetría, suponer que todos los resultados del experimento eran “potencialmente probables”. Luego, en una gran cantidad de ensayos, todos los resultados deberían suceder, con aproximadamente la misma frecuencia.

La probabilidad de un evento se define como la relación del número de casos favorables al evento, es decir, el número de resultados en el sub-conjunto del espacio muestral que especifica el evento, al número total de casos. Por lo tanto, los 36 resultados posibles en el lanzamiento de dos dados se asumen como igualmente probables, y la probabilidad de obtener “seis” es el número de casos propicios, 5, dividido por 36, o 5/36.

Ahora suponga que una moneda se lanza n veces, y reflexione la probabilidad de que en el evento “no se produzcan caras” en los n lanzamientos. Un resultado del experimento es un n- par, cuya entrada k th identifica el resultado del lanzamiento k th. Dado que hay dos resultados probables para cada lanzamiento, el número de elementos en el espacio de muestra es 2 n. De estos, solo un resultado corresponde a no tener cabezas, por lo que la posibilidad requerida es 1/2 n.

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